Esercizi e elementi di teoria per il corso di Matematica

La Scuola Normale Superiore è un prestigioso istituto universitario a ordinamento speciale che accoglie studenti in due percorsi distinti: il corso ordinario, parallelo ai corsi di laurea triennale e magistrale, e il corso di perfezionamento, noto anche come PhD. Durante l’anno accademico gli studenti ”normalisti” del corso ordinario devono seguire, oltre ai corsi universitari regolari presso l’Università di Pisa, alcuni ”corsi interni”. Gli studenti normalisti iscritti al primo anno di laurea in materie scientifiche come Matematica, Fisica, Chimica e Biologia, seguono un corso interno annuale di Matematica che mira ad approfondire e ampliare le nozioni tradizionalmente incluse nei programmi dei corsi universitari, che i normalisti seguono in parallelo. Negli ultimi quindici anni questo corso ha incluso una serie di argomenti fondamentali. Inizia con un approfondimento dei fondamenti della Matematica, compreso l’uso degli assiomi di Zermelo-Fraenkel per la teoria degli insiemi, la costruzione degli insiemi numerici e la caratterizzazione dei numeri reali ℝ come campo ordinato completo. Prosegue con argomenti come serie e successioni, spazi metrici e topologia, calcolo differenziale ed equazioni differenziali ordinarie. In questi anni sono stati titolari del corso i professori Giuseppe Da Prato, Fulvio Ricci, Luigi Ambrosio e Franco Flandoli. Alle esercitazioni, hanno collaborato, oltre all’autore del presente volume, Francesco Bonsante, Carlo Mantegazza, Simone Di Marino, Tommaso Pacini, Luciano Mari, Lorenzo Mazzieri, Andreas Hochenegger, Andrea Ferraguti, Alessandra Caraceni. L’autore ha collaborato alla parte delle ”esercitazioni” (ora chiamata ”didattica integrativa”) per oltre dieci anni, accumulando una vasta quantità di materiale teorico e di esercizi, che vengono ora presentati in questo volume. Come già per il testo degli appunti del corso, così anche questo volume non è completamente autonomo, poiché è pensato come un complemento ai corsi universitari standard del primo anno. Tuttavia, la prima parte costituisce n’eccezione, poiché i corsi che coprono gli argomenti dei fondamenti di logica di solito non sono offerti nel primo anno, e i testi spesso utilizzati in questi corsi non sono di facile accesso per gli studenti di primo anno. Pertanto, i capitoli 3 e 4 sono stati ampliati per includere gli elementi teorici necessari, spesso presentati sotto forma di esercizi. D’altra parte, a partire dal Capitolo 5, sono fornite referenze utili e/o necessarie per affrontare gli esercizi, oltre a definizioni e lemmi.