Somme connesse generalizzate per problemi della geometria

[Introduction]: In questi ultimi due decenni le tecniche di somma connessa, basate essenzialmente su strumenti di natura analitica, hanno permesso di fare importanti progressi nella comprensione di svariati problemi non lineari derivati dalla geometria (studio di metriche a curvatura scalare costante in geometria Riemanniana, metriche autoduali, metriche con gruppi di olonomia speciali, metriche estremali in geometria K¨ahleriana, equazioni di Yang-Mills, studio di ipersuperfici minime e di superfici a curvatura media costante, metriche di Einstein,...). Queste tecniche si sono rivelate essere uno strumento potente per dimostrare l’esistenza di soluzioni di problemi altamente non lineari. La somma connessa (ossia l’aggiunta di un manico) è un’operazione topologica che consiste nel prendere due varietà M1 e M2, rimuovere da ciascuna di esse una piccola palla geodetica e identificare i bordi (i.e., due sfere) che si sono formati al fine di ottenere una nuova variet`a M1♯M2 che, in generale, sar`a topologicamente diversa dalle due variet`a iniziali. Pi`u in generale si può considerare la sommma connessa di due varietà M1 ed M2 lungo una sottovarietà K (somma connessa generalizzata). In questo caso si rimuove un piccolo intorno tubolare di K nelle due varietà iniziali e si identificano i bordi ottenuti per costruire M1 ♯K M2. Osserviamo che per effettuare una tale costruzione bisogna richiedere che i fibrati normali di K in M1 ed M2 siano diffeomorfi. Le cose si complicano quando le due variet`a iniziali sono munite di una particolare struttura (come nel caso di variet`a con metriche a curvatura scalare costante, o varietà che sono superfici minime,...) e si vuole preservare questa struttura, o quando sulle varietà iniziali esistono soluzioni di certe equazioni non lineari e si vogliono risolvere le stesse equazioni sulla somma connessa delle due variet`a M1 e M2 (come ad esempio le equazioni di Yang-Mills). Se da un lato le tecniche che permettono di effettuare le somme connesse in punti isolati sono state ben comprese e frequentemente utilizzate, dall’altro non si ha ancora un’effettiva padronanza delle tecniche che permettono di effettuare la somma connessa lungo sottovarietà. Il principale obiettivo di questo lavoro `e quello di colmare (parzialmente) questa lacuna, sviluppando questo tipo di tecnologie nel quadro delle metriche a curvatura scalare costante e nel quadro delle equazioni di vincolo di Einstein, in relatività generale.