On a mathematical model for case hardening of steel

[Compendio]: [...] Il processo industriale oggetto della presente tesi è la più diffusa variante di ’case hardening’, cosiddetta ’gas carburizing’, che prevede la variazione della composizione chimica dell’acciaio, nello strato superficiale, mediante la diffusione di un gas costituito principalmente da carbonio. [...] La presente tesi si occupa della modellizzazione matematica, a livello macroscopico, del ’gas carburizing’, della sua analisi matematica, e infine presenta un lavoro di simulazione del modello proposto. La parte introduttiva della tesi è volta alla descrizione dei principali fenomeni fisici che hanno luogo nell’acciaio al variare della temperatura, per giungere alla formulazione di un modello matematico. Il modello è costituito da un sistema di due equazioni paraboliche alle derivate parziali, che descrivono l’evoluzione della temperatura e quella del contenuto in carbonio all’interno della componente meccanica, accoppiate a due equazioni differenziali ordinarie che descrivono le transizioni di fase (solido-solido) che hanno luogo nell’acciaio sottoposto al trattamento termico. Vengono affrontate le questioni di esistenza e unicità di una soluzione del problema al bordo associato al sistema di equazioni del modello completo, con condizioni al bordo di terzo tipo per le equazioni paraboliche. Successivamente si analizza un problema correlato a quello di partenza, vale a dire il sistema quasilineare costituito dalle due equazioni paraboliche alle derivate parziali, riuscendo ad indebolire sensibilmente le ipotesi che sembravano necessarie nella prima parte, col vantaggio di rispecchiare con maggior fedeltà alcune caratteristiche fisiche del problema. In questo caso, la tecnica usata è ispirata ad un metodo proposto da J. Necas originalmente per la risoluzione di equazioni ellittiche con condizioni al bordo lineari, ma che consente di trattare anche una condizione al bordo non lineare per l’equazione descrivente l’evoluzione della temperatura. Altrettanto utili nella trattazione dell’unicità e continuità della soluzione rispetto ai dati sono alcune classi di spazi di Sobolev anisotropici, introdotti da O. V. Besov, che risultano particolarmente adatti a trattare il problema della diversa regolarità della soluzione in direzione tangenziale e normale. L’analisi è valida nei casi di dimensione spaziale minore o uguale a tre, tenendo conto che quello rilevante nelle applicazioni è il caso tridimensionale. In conclusione vengono presentate alcune simulazioni che mostrano l’applicabilità del modello considerato, finalizzate ad essere comparate con risultati sperimentali.